Übungsblatt zu Wurzelrechnung

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1. Fasse unter einer Wurzel zusammen und radiziere
a) 3 12 b) 10 14 4 , c) 0 1 0 001, ,
d) 3
7
28
3 e) 14 1117
35
2
3 f) 0 35 6 2 1, , 
g) ab ab 3 h) 48
3 i) 24 5
192
6
54
, :a
bc abc
j) 16 1636
4
36
4  k) 2 2
2 2
1
3
1
3
13 13

   l) 117 52pq p
q

2. Multipliziere aus, vereinfache und fasse so weit wie möglich zusammen
a) ( )8 3 18 2
− b) ( )5 2 18 2
+
c) ( )2 5 18 2
− d) ( ) ( )3 2 3 2+  −
e) ( ) ( )20 3 2 3 5 82 2
− + + f) ( ) ( )2 7 3 10 2 7 3 10−  +
g) ( )2 3 3 6 2
+ h) 9 17 9 17+  −

3. Addiere/subtrahiere die Wurzeln
a) 3√2+4√2= b) 9√3−7√3= c) 12√11+5√11=
d) 4√6+3√6−2√6= e) 4√𝑥+3√𝑥= f) 14√𝑥−9√𝑥 =
g) 2√𝑎+3√𝑎−√𝑎 = h) 3√𝑥−2√𝑥+4√𝑥 = i) 5√𝑎−(7√𝑏+3√𝑎)−√𝑎 =
j) 5√𝑥−(3√𝑥+√𝑦)−(√𝑥+2√𝑦)=
k) −(√2𝑎+7√3𝑏)−(4√2𝑎−3√3𝑏)=
l) √𝑥−(2√𝑦+3√𝑧)−(√𝑥−√𝑦−√𝑧=

4. Berechne
a) (√11−√7)(√11+√7)−(√11−√7)²=
b) (√2−√5+√7)(√2−√5−√7)−(√2−√5)²=
c) (√𝑎+𝑏+√𝑎−𝑏)²−(√𝑎+𝑏−√𝑎−𝑏)²=
d) (3− 1
√3)²−(3+ 1
√3)²=
e) (3√2−2√3
√6 −3+√6
√3 )²=
f) (√27−√8
√12 −3
2)²−(√2
3 − 1
√2)(√2
3 + 1
√2)=

5. Vereinfache folgenden Term soweit wie möglich. Gib die Ergebnisse mit
Wurzelzeichen an
a) √378
25 ∙√750
3 = b) √6 700 000 000 000
d) √𝑎²𝑏∙√𝑐²𝑏3∙√3𝑏
√3𝑎² = d) √1
4𝑐²−𝑐𝑏+𝑏²=

Wurzel Station 1

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1. Radiziere
a) 36 144 b) 0 09 0 0225, , c) 6 25 106, 
d) 49 164 2 8a b c e) 196
49
2 5
4
x y
yz f) 13 52
g) 1 6 105,  h) 50
32
3a
a

2. Bestimme die Definitionsmenge
a) 2 1x − b) 2 1 −x c) 2
1x +
d) 3
1
x
x + e) x2 1+ f) 16 2−x

3. Vereinfache so weit wie möglich
a) (√2𝑎²=) b) √(−𝑎)²= c) (−√𝑏)²
d) √𝑎4 = e) √75𝑥3𝑦5
√32𝑧 ∙ √𝑧7
√6𝑥𝑦3 = f) √𝑥5
6𝑎𝑏3 ∙√75𝑎3𝑏5
√32𝑥
g) √𝑥
𝑦:√𝑥
𝑦 = h) √108
𝑎² :√25𝑥²
3 = i) √ 3
25𝑥²:√4𝑎²
108 =
j) (√27−2√3)∙√12= k)) √𝑎𝑏∙(√𝑎3𝑏+√𝑎𝑏3)= m) √𝑎
𝑏:√𝑏
𝑎 =

4. Multipliziere, bzw. dividiere
a) √8∙√2= b) √12∙√3= c) √12,5∙√2=
d) √18∙√2= e) √2∙√4∙√8= f) √2∙√5∙√10=
g) √5𝑎∙√20𝑎 = h) √2𝑎²∙√18𝑎²= i) √72𝑘∙√2𝑘 =
j) √1
2𝑚∙√32𝑚= k) √3
4𝑥∙√3
16𝑥 = l) √0,18𝑎∙√2𝑎 =
m) √72
√2 = n) √𝑥3
√𝑥 = o) √20𝑦∙√1,8𝑦=

5. a) Schreibe als Potenz. Bestimme anschließend den Wert.
(√(3
5)6
2
)
5
= 1
√0,35⁴7 =
b) Schreibe als Wurzel. Bestimme anschließend den Wert.
(3
7)
11
13 = 142−0,4
5 =
6. Vereinfache folgende Terme durch teilweises Wurzelziehen! Überlege, ob du
„in der Wurzel” herausheben kannst!
a) √144𝑥²−288𝑥3 = b) √72𝑎²𝑏3 +108𝑎3𝑏²=
Wurzel Station 2

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1. Radiziere teilweise
a) 32 b) 2 180 c) 176
d) 9000 e) 3 507 2ab f) x5
g) 5 105 h) x x
y
2 3
28
+ i) 18 272 2a b+

2. Mache den Nenner rational
a) 4
3√8 = b) 3
4√8 = c) 3√𝑏−𝑏√𝑎
√𝑎𝑏 =
d) 𝑥√𝑦−𝑦√𝑥
√𝑥𝑦 = e) √7
√7−√2 = f) √8
√8−√2 =
g) √83 ∙ √83 = h) √53 ∙ √13 ∙ √253 = i) √𝑎²3
∙ √𝑎3 ∙ √𝑎33
=
j) √𝑏4 ∙ √𝑏²4
∙ √𝑏4 = k) √𝑥5 ∙ √𝑥35
∙ √𝑥65
= l) √3𝑎3 ∙ √3𝑎43 ∙ √9𝑎3 =
m) √2𝑦5 ∙ √𝑦35 ∙ √16𝑦5 = n) √10𝑥4 ∙ √20𝑥²4
∙ √50𝑥4 = o) √543 :√23 =
p) √300004 :√34 = q) √645 :√25 = r) √𝑎75
:√𝑎25
=

3. Berechne
a) (3
2 −√2
3)²-(3
2 +√2
3)²= b) 25−5√5
√5 − √80
3+√5−10√1
5 =
c) 12+2√3
√3 −6√1
3 −√48
3−1 = e) 15−7√6
√6 − √54
√6+3+3√1
6 =
f) 1
√2 + 1
2√2−4−1−√2
2√2 = g) (√3−√6
√2 −√6+√2
√3 − 1
√6)(1
√2 − 3
√12)=

4. Bildet man das Doppelte der Wurzel aus dem um 15 verminderten
Vierfachen einer Zahl, so erhält man die Hälfte dieser Zahl.

5. Schreibe als Potenz mit gebrochenem Exponenten
a) √303 = b) √𝑎7 = c) √𝑥6 =
d) √12
17
4
= e) √5𝑎3 = f) √5𝑚𝑛 =

6. Bestimme den (ungefähren) Wert folgender Wurzeln. Runde nach 4 Stellen
a) √2004 = b) √123 = c) √1,110 = d) √1227 =
e) √5
22
3
= f) √3
7
5
= g) √ 3
512
6
= h) √ 5
1111
7
=
i) √0,0023 = j) √34,773 = k) √128 3,449= l) √24223,555 =

7. Erweitere folgende Brüche so, dass der Nenner keine Wurzel mehr enthält,
also „rational” wird!
a) 21
√3 = b) 15
√5 =
Wurzel Station 3

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1. Ziehe unter das Wurzelzeichen
a) 7 x b) 2
3 a c) 4 1
2a b
d) −3 2x xy e) 3 31
3a a b− f) xy x
y3
g) 2 3
8
3
2
ab
c
c
a b h) 2 3 1
12 43 2x x
x x −
− i) 2 5 625, a b
a

2. Berechne die Wurzel
a) √146414 = b) √506254 = c) √2798414 = d) √9235214 =

3. Mach den Nenner rational
a) √1
2𝑎4
:√8𝑎4 = b) √5
3𝑏75
: √5
3𝑏25
= c) (√2)4
=
d) (√2)6
= e) (√𝑎5 )⁴= f) (√𝑏4 )⁴=
g) √363
= h) √484
= i) √√𝑎43
=
j) √√𝑏633
= k) √√𝑐1043
= l) √√𝑦6 =

4. Berechne
a) (√15𝑥)²= b) (√7𝑎²)²= c) (√𝑎²𝑦3)²=
d) √𝑥²= e) √(3𝑚)²= f) √(2𝑚+3𝑛)²=
g) (√12+√3)√32= h) √2(√18+√32)= i) √5(√5+√125)=
j) √6(√54+√6)= k) (√32𝑥+√8𝑥)√0,5𝑥 = l) √0,2𝑎(√5𝑎−√80𝑎)=
m) (3+√5)(3−√5)= n) (√8−√3)(√8+√3)= o) (√2+√7)(√2−√7)=
p) (√12+3)(√12−3)= q) (√𝑥³−√2𝑦)(√𝑥³+√2𝑦)=

5. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich für folgende Funktionen.
a) 𝔣(𝑥)=√2𝑥−4 b) 𝔣(𝑥)=√4−5𝑥
c) 𝔣(𝑥)=√𝑥²−4 d) 𝔣(𝑥)=√9−𝑥²
e) 𝔣(𝑥)=√𝑥²−5𝑥+4 f) 𝔣(𝑥)=√𝑥(𝑥−1)
g) 𝔣(𝑥)=√−𝑥3 +𝑥

6. Vereinfache
a) (3∙√5+2∙√3)∙(3∙√5−2∙√3) b) (𝑎∙√𝑎𝑥−𝑏∙√𝑏𝑥)∙√𝑎𝑏𝑥
c) √√𝑎536
∙ √√𝑎792
d) √𝑥45 ∙ √𝑥310
∙ √𝑥815

Wurzel Station 4

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1. Mache den Nenner rational
a) 5 10
8 b) 3 7
4 3 c) 81
82 -1
d) 2 + 3
3 + 6 e) 4
5 - 3 f) 15 - 13
15 + 13
g) 10
2 + 3 + 5 h) a
b i) 4 2
2
x xy y
x y
− +
−

2. Vereinfache folgende Terme soweit wie möglich. Gib den gesamten
Rechenweg und die Ergebnisse in exakter Schreibweise (ohne Rundung) an.
a) √√360
√9⋅√1
10
= b) 𝑎²√𝑏+𝑏²√𝑎
√𝑎𝑏 =

3. Schreibe als Wurzel
a) 52
3 = b) 𝑥𝑦3
4 = c) 𝑝𝑦𝑎
𝑏 = d) 𝑐𝑑𝑚
𝑛 =

4. Mach den Nenner rational
a) 𝑎
4√𝑥 b) 6
2+√𝑛 c) 8𝑏
√2𝑥3 d) 4𝑥
5𝑥−√𝑎𝑥
e) √8
√2 f) 2+𝑎
2−√2−𝑎 g) 4𝑎
√2𝑎−√2𝑎²+1

5. Faktorisiere die Wurzel
a) √54= b) √96= c) √80= d) √75+√27=
e) √54+√24= f) √150+√96= g) √175+√28−√112=

6. Entferne die Wurzel aus dem Nenner
a) 4
√6 = b) 14
√6 = c) 7
9−√2 = d) 6
9−√5 =
e) 7
9−√2 = f) 8
16−√80 = g) 6
27+√45 = h) 12
18−√45 =

7. Wie lang sind die Seiten eines Quadrates mit dem Flächeninhalt
a) 12,25 m² b) 5 m² c) 900 cm² d) 0,009 m² e) 1 km²
______ ______ ________ ________ ______

8. Schreibe als Quotient zweier Wurzeln und mache den Nenner rational.
a) √3
5 = b) √7
8 = c) √3
13 = d) √8
11 =

9. Mache den Nenner rational
a) √2+√3
√3 = b) √7−√12
√7 = c) √5−√2
√5 = d) √13−2√7
2√7 =

Wurzel Station 5

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1. Fasse unter einer Wurzel zusammen und radiziere
a) 3 12= 6 b) 10 14 4 ,= 12 c) 0 1 0 001, ,= 0,01
d) 3
7
28
3=2 e) 14 1117
35
2
3=13 f) 0 35 6 2 1, , = 2,1
g) ab ab 3= ab² h) 48
3= 4
i) 24 5
192
6
54
, :a
bc abc=√24,5𝑎∙54𝑎𝑏𝑐
192𝑏𝑐 ∙1
6 =√441𝑎²
64 ∙1
6 =21𝑎
48 = 7
16𝑎
j) 16 1636
4
36
4 =4∙6
2 ∙√25=60 k) 2 2
2 2
1
3
1
3
13 13

  =21
3
2∙1
3
=
7
32
3
=7
2 l) 117 52pq p
q= 78p

2. Multipliziere aus, vereinfache und fasse so weit wie möglich zusammen
a) ( )8 3 18 2
−=8−6√8∙18+9∙18=8−6√16∙9+162=170−6∙12=9
b) ( )5 2 18 2
+=25∙2+2∙5√2∙√18+18=50+10√36+18=128
c) ( )2 5 18 2
−=4∙5−4√5∙18+18=38−12√10
d) ( ) ( )3 2 3 2+  −=3−2=1
e) ( ) ( )20 3 2 3 5 82 2
− + +=20−2∙3∙3√40+9∙3+9∙5+2∙3∙√40+8=91
f) ( ) ( )2 7 3 10 2 7 3 10−  +=4∙7−9∙10=62 g) ( )2 3 3 6 2
+=66+36√2
h) 9 17 9 17+  −=8

3. Addiere/subtrahiere die Wurzeln
a) 3√2+4√2=7√2 b) 9√3−7√3=2√3 c) 12√11+5√11=17√11
d) 4√6+3√6−2√6=5√6 e) 4√𝑥+3√𝑥=7√𝑥 f) 14√𝑥−9√𝑥 =5√𝑥
g) 2√𝑎+3√𝑎−√𝑎 =4√𝑎 h) 3√𝑥−2√𝑥+4√𝑥 =5√𝑥
i) 5√𝑎−(7√𝑏+3√𝑎)−√𝑎 =√𝑎−7√𝑏
j) 5√𝑥−(3√𝑥+√𝑦)−(√𝑥+2√𝑦)=√𝑥−3√𝑦
k) −(√2𝑎+7√3𝑏)−(4√2𝑎−3√3𝑏)=−5√2𝑎−4√3𝑏
l) √𝑥−(2√𝑦+3√𝑧)−(√𝑥−√𝑦−√𝑧=−√𝑦−2√𝑧

4. Berechne
a) (√11−√7)(√11+√7)−(√11−√7)²=2√77−14
b) (√2−√5+√7)(√2−√5−√7)−(√2−√5)²=−7
c) (√𝑎+𝑏+√𝑎−𝑏)²−(√𝑎+𝑏−√𝑎−𝑏)²=4√𝑎²+𝑏²
d) (3− 1
√3)²−(3+ 1
√3)²=−4√3
e) (3√2−2√3
√6 −3+√6
√3 )²= 8
f) (√27−√8
√12 −3
2)²−(√2
3 − 1
√2)(√2
3 + 1
√2)=1
2
Lösungen Wurzel Station 1

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5. Vereinfache folgenden Term soweit wie möglich. Gib die Ergebnisse mit
Wurzelzeichen an
a) √378
25 ∙√750
3 =√378750
253 =√37830
13 =√2∙2∙3∙3∙3∙3∙7=√2∙2∙√3∙3∙√3∙3∙√7=
2∙3∙3∙√7=18√7
b) √6 700 000 000 000=√100000∙100000∙√670=100000∙√670
d) √𝑎²𝑏∙√𝑐²𝑏3∙√3𝑏
√3𝑎² =√𝑎²𝑏∙𝑐²𝑏3∙3𝑏
3𝑎² =√3𝑎²𝑏5𝑐²
3𝑎² =√𝑏5𝑐²=√𝑏4𝑐²∙√𝑏 =𝑏²𝑐∙√𝑏
d) √1
4𝑐²−𝑐𝑏+𝑏²=√(1
2𝑐−𝑏)²=1
2𝑐−𝑏

1. Radiziere
a) 36 144= 72 b) 0 09 0 0225, ,=0,045 c) 6 25 106, = 2500
d) 49 164 2 8a b c= 28a²bc² e) 196
49
2 5
4
x y
yz=14𝑥𝑦²
7𝑧² =2𝑥𝑦²
𝑧²
f) 13 52=√13∙4∙13=13∙2=26 g) 1 6 105, =√16∙104 =4∙10²=400
h) a
a
32
50 3=√25𝑎²
16 =5𝑎
4 =5
4𝑎

2. Bestimme die Definitionsmenge
a) 2 1x −𝐷 =[1
2;+∞[ b) 2 1 −x𝐷 =]−∞;1] c) 2
1x +𝐷 =]−1;+∞[
d) 3
1
x
x +𝐷 =[0;+∞[=𝑅0 e) x2 1+D=R f) 16 2−x𝐷 =[−4;4]

3. Vereinfache so weit wie möglich
a) (√2𝑎²)=2𝑎 b) √(−𝑎)²=-a oder a c) (−√𝑏)²=𝑏
d) √𝑎4 =𝑎² e) √75𝑥3𝑦5
√32𝑧 ∙ √𝑧7
√6𝑥𝑦3 =5
8𝑥𝑦𝑧3 f) √𝑥5
6𝑎𝑏3 ∙√75𝑎3𝑏5
√32𝑥 =5𝑎𝑏𝑥²
8
g) √𝑥
𝑦:√𝑥
𝑦 =1 h) √108
𝑎² :√25𝑥²
3 = 18
5𝑎𝑥 i) √ 3
25𝑥²:√4𝑎²
108 = 18
10𝑎𝑥 = 9
5𝑎𝑥
j) (√27−2√3)∙√12=6 k) √𝑎𝑏∙(√𝑎3𝑏+√𝑎𝑏3)=𝑎²𝑏+𝑎𝑏² m) √𝑎
𝑏:√𝑏
𝑎 =𝑎
𝑏

4. Multipliziere, bzw. dividiere
a) √8∙√2=4 b) √12∙√3=6 c) √12,5∙√2=5
d) √18∙√2=6 e) √2∙√4∙√8=8 f) √2∙√5∙√10=10
g) √5𝑎∙√20𝑎 =10𝑎 h) √2𝑎²∙√18𝑎²=6𝑎² i) √72𝑘∙√2𝑘 =12𝑘
j) √1
2𝑚∙√32𝑚=4𝑚 k) √3
4𝑥∙√3
16𝑥 =3𝑥
8 l) √0,18𝑎∙√2𝑎 =0,6𝑎
Lösungen Wurzel Station 2

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m) √72
√2 =6 n) √𝑥3
√𝑥 =𝑥 o) √20𝑦∙√1,8𝑦=6𝑦

5. a) Schreibe als Potenz. Bestimme anschließend den Wert.
(√(3
5)6
2
)
5
=((3
5)2
6)
5
=(3
5)5
3 ≈0,427 1
√0,35⁴7 =0,35−4
7 ≈1,822
b) Schreibe als Wurzel. Bestimme anschließend den Wert.
(3
7)
11
13 = √(3
7)1113
≈0,488 142−0,4
5 =142−2
25 = √142−225
= 1
√142225 ≈0,673

6. Vereinfache folgende Terme durch teilweises Wurzelziehen! Überlege, ob du
„in der Wurzel” herausheben kannst!
a) √144𝑥²−288𝑥3 =√144𝑥²∙(1−2𝑥)=12𝑥√1−2𝑥
b) √72𝑎²𝑏3 +108𝑎3𝑏²=√36𝑎²𝑏²∙(2𝑏+3𝑎)=6𝑎𝑏√2𝑏+3𝑎

1. Radiziere teilweise
a) 32= 4√2 b) 2 180= 12√5 c) 176= 4√11
d) 9000= 30√10 e) 3 507 2ab= 39𝑏·√3𝑎2 f) x5= 𝑥²√𝑥
g) 5 105=√50∙10000=100∙√2∙25=500√2
h) x x
y
2 3
28
+=√𝑥²∙(1+𝑥)
4∙2𝑦² = 𝑥
2𝑦 ∙√1+𝑥
2
i) 18 272 2a b+=√9∙(2𝑎²+3𝑏²)=3√2𝑎²+3𝑏²

2. Mache den Nenner rational
a) 4
3√8 =√2
3 b) 3
4√8 =3√2
16 c) 3√𝑏−𝑏√𝑎
√𝑎𝑏 =√𝑎−√𝑏
d) 𝑥√𝑦−𝑦√𝑥
√𝑥𝑦 =√𝑥−√𝑦 e) √7
√7−√2 =7+√14
5 f) √8
√8−√2 =2
g) √83 ∙ √83 = √643 =4 h) √53 ∙ √13 ∙ √253 = √1253 =5
i) √𝑎²3
∙ √𝑎3 ∙ √𝑎33
=∛𝑎6 =𝑎² j) √𝑏4 ∙ √𝑏²4
∙ √𝑏4 =∜𝑏4 =𝑏
k) √𝑥5 ∙ √𝑥35
∙ √𝑥65
= √𝑥105
=𝑥² l) √3𝑎3 ∙ √3𝑎43
∙ √9𝑎3 = √27𝑎63
=3𝑎²
m) √2𝑦5 ∙ √𝑦35 ∙ √16𝑦5 = √32𝑦55 =2𝑦
n) √10𝑥4 ∙ √20𝑥²4
∙ √50𝑥4 = √10000𝑥44 =10𝑥 o) √543 :√23 = √273 =3
p) √300004 :√34 = √100004 =10 q) √645 :√25 = √325 =2 r) √𝑎75
:√𝑎25
= √𝑎55
=𝑎

3. Berechne
a) (3
2 −√2
3)²-(3
2 +√2
3)²=−2√6 b) 25−5√5
√5 − √80
3+√5−10√1
5 =0
Lösungen Wurzel Station 3

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c) 12+2√3
√3 −6√1
3 −√48
3−1 =−4 e) 15−7√6
√6 − √54
√6+3+3√1
6 =−1
f) 1
√2 + 1
2√2−4−1−√2
2√2 =0 g) (√3−√6
√2 −√6+√2
√3 − 1
√6)(1
√2 − 3
√12)=1
2

4. Bildet man das Doppelte der Wurzel aus dem um 15 verminderten Vierfachen einer
Zahl, so erhält man die Hälfte dieser Zahl.
X sei die unbekannte Zahl. Dann gilt 2∙√4𝑥−15=𝑥
2
2∙√4𝑥−15=𝑥 ↔ (x-8)²=4 L = {6; 10}
→ 4(4x-15)=x² ↔ x-8=±2
→ x²-16x+60=0 ↔ x=10 ∨ x = 6
→ x²-16x+64=4

5. Schreibe als Potenz mit gebrochenem Exponenten
a) √303 =301
3 b) √𝑎7 =𝑎1
7 c) √𝑥6 =𝑥1
8
d) √12
17
4
=(12
17)
1
4 e) √5𝑎3 =(5𝑎)1
3 f) √5𝑚𝑛 =5𝑚
𝑛

6. Bestimme den (ungefähren) Wert folgender Wurzeln. Runde nach 4 Stellen
a) √2004 ≈3,7606 b) √123 ≈2,2894 c) √1,110 ≈1,0096 d) √1227 ≈1,9863
e) √5
22
3
≈0,6103 f) √3
7
5
≈0,8441 g) √ 3
512
6
≈0,4246 h) √ 5
1111
7
≈0,4621
i) √0,0023 ≈0,126 j) √34,773 ≈3,2639 k) √128 3,449≈1,8257
l) √24223,555 ≈7,5309

7. Erweitere folgende Brüche so, dass der Nenner keine Wurzel mehr enthält,
also „rational” wird!
a) 21
√3 =7√3 b) 15
√5 =3√5

1. Ziehe unter das Wurzelzeichen
a) 7 x=√49𝑥 b) 2
3 a=√4
9𝑎 c) 4 1
2a b=√8𝑎²𝑏
d) −3 2x xy=−√9𝑥⁵𝑦 e) 3 31
3a a b−=√3𝑎³−27𝑎²𝑏 f) xy x
y3=√𝑥³
𝑦
g) 2 3
8
3
2
ab
c
c
a b=√3𝑏𝑐
2 h) 2 3 1
12 43 2x x
x x −
−=√4𝑥²(3𝑥−1)
4𝑥²(3𝑥−1) =1
i) 2 5 625, a b
a=√25²𝑎²
10² ·