Klasse 8 c 2. Schulaufgabe aus der Mathematik 18. 01. 2006
Gruppe A
1. Bruchrechnen – Fasse zu einem Bruch zusammen und vereinfache soweit wie m ̈oglich.
a) a
4 −a+ 12
4 + a−32
16 −a2 b) 48
15x: 24
5x2
2. Bruchgleichungen – Bestimme die L ̈osungsmenge aus der Grundmenge Q.
2x
x−1 −2 = 5
x2 −1
3. Schneer ̈aumen
Heute morgen hat es wieder geschneit! Aber aus Erfahrung weiß der Vater, dass er in
einer halben Stunde mit der Einfahrt fertig ist, wenn ihm sein Sohn hilft. Der Sohn
schaufelt dabei ziemlich genau halb soviel wie der Vater. Wie lange w ̈urde der Vater
brauchen, wenn er alleine schaufeln m ̈usste? (L ̈ose mit Hilfe einer Gleichung!)
4. Reicht es?
Gib eine Aussage ̈uber die Diagonalen, welche hinreichend und notwendig ist, dass
ein Viereck ...
a) ...ein Rechteck ist.
b) ...ein Drachenviereck ist.
5. Beweise!
Gegeben ist die rechts skizzierte Figur.
Dabei liegt Bauf der Strecke [AC].
Weiterhin sind die Dreiecke ∆ABEund
∆BCDjeweils gleichseitig.
a) ̈Ubertrage die gegebene Skizze nach
Augenmaß vergr ̈oßert auf dein Blatt.
b) Berechne das Maß des Winkels δ.
c) Beweise: Die Strecken [AD] und
[CE] haben die gleiche L ̈ange.
(Hilfe: F ̈uhre einen Kongruenzbeweis.)
Viel Erfolg !
Kink
Gruppe A
1. Bruchrechnen – Fasse zu einem Bruch zusammen und vereinfache soweit wie m ̈oglich.
a) a
4 −a+ 12
4 + a−32
16 −a2 b) 48
15x: 24
5x2
2. Bruchgleichungen – Bestimme die L ̈osungsmenge aus der Grundmenge Q.
2x
x−1 −2 = 5
x2 −1
3. Schneer ̈aumen
Heute morgen hat es wieder geschneit! Aber aus Erfahrung weiß der Vater, dass er in
einer halben Stunde mit der Einfahrt fertig ist, wenn ihm sein Sohn hilft. Der Sohn
schaufelt dabei ziemlich genau halb soviel wie der Vater. Wie lange w ̈urde der Vater
brauchen, wenn er alleine schaufeln m ̈usste? (L ̈ose mit Hilfe einer Gleichung!)
4. Reicht es?
Gib eine Aussage ̈uber die Diagonalen, welche hinreichend und notwendig ist, dass
ein Viereck ...
a) ...ein Rechteck ist.
b) ...ein Drachenviereck ist.
5. Beweise!
Gegeben ist die rechts skizzierte Figur.
Dabei liegt Bauf der Strecke [AC].
Weiterhin sind die Dreiecke ∆ABEund
∆BCDjeweils gleichseitig.
a) ̈Ubertrage die gegebene Skizze nach
Augenmaß vergr ̈oßert auf dein Blatt.
b) Berechne das Maß des Winkels δ.
c) Beweise: Die Strecken [AD] und
[CE] haben die gleiche L ̈ange.
(Hilfe: F ̈uhre einen Kongruenzbeweis.)
Viel Erfolg !
Kink
michih
6.5.2006, 14:44:54michih
6.5.2006, 14:45:09Klasse 8 c 2. Schulaufgabe aus der Mathematik 18. 01. 2006
Musterl ̈osung
Gruppe A
1. a) a
4 −a+ 12
4 + a−32
16 −a2 = a
4 −a+ 12
4 + a−32
(4 −a) (4 + a)
= a·(4 + a) + 12 ·(4 −a) −32
(4 −a) (4 + a) = 4a+ a2 + 48 −12a−32
(4 −a) (4 + a)
= a2 −8a+ 16
(4 −a) (4 + a) = (4 −a)2
(4 −a) (4 + a) = 4 −a
4 + a
b) 48
15x: 24
5x2 = 48
15x·5x2
24 = 2
3x
2. 2x
x−1 −2 = 5
x2 −1 D= Q\{−1 ; 1}
2x
x−1 −2 = 5
(x+ 1) (x−1) |·(x+ 1) (x−1) 6= 0
2x·(x+ 1) −2 ·(x+ 1) (x−1) = 5
2x+ 2x2 −2 ·(x2 −1)= 5
2x+ 2x2 −2x2 + 2 = 5
2x= 3
x= 3
2 L=
{3
2
}
3. 1
x+ 1
2x= 11
2
D= Q\{0}
1
x+ 1
2x= 2 |·2x6= 0
2 + 1 = 4x
4x= 3
x= 3
4
Der Vater w ̈urde alleine 45 Minuten brauchen.
4. Reicht es?
Gib eine Aussage ̈uber die Diagonalen, welche hinreichend und notwendig ist, dass
ein Viereck ...
a) ...ein Rechteck ist.
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig.
b) ...ein Drachenviereck ist.
Eine Diagonale halbiert die andere lotrecht.
Musterl ̈osung
Gruppe A
1. a) a
4 −a+ 12
4 + a−32
16 −a2 = a
4 −a+ 12
4 + a−32
(4 −a) (4 + a)
= a·(4 + a) + 12 ·(4 −a) −32
(4 −a) (4 + a) = 4a+ a2 + 48 −12a−32
(4 −a) (4 + a)
= a2 −8a+ 16
(4 −a) (4 + a) = (4 −a)2
(4 −a) (4 + a) = 4 −a
4 + a
b) 48
15x: 24
5x2 = 48
15x·5x2
24 = 2
3x
2. 2x
x−1 −2 = 5
x2 −1 D= Q\{−1 ; 1}
2x
x−1 −2 = 5
(x+ 1) (x−1) |·(x+ 1) (x−1) 6= 0
2x·(x+ 1) −2 ·(x+ 1) (x−1) = 5
2x+ 2x2 −2 ·(x2 −1)= 5
2x+ 2x2 −2x2 + 2 = 5
2x= 3
x= 3
2 L=
{3
2
}
3. 1
x+ 1
2x= 11
2
D= Q\{0}
1
x+ 1
2x= 2 |·2x6= 0
2 + 1 = 4x
4x= 3
x= 3
4
Der Vater w ̈urde alleine 45 Minuten brauchen.
4. Reicht es?
Gib eine Aussage ̈uber die Diagonalen, welche hinreichend und notwendig ist, dass
ein Viereck ...
a) ...ein Rechteck ist.
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig.
b) ...ein Drachenviereck ist.
Eine Diagonale halbiert die andere lotrecht.
michih
6.5.2006, 14:45:26Klasse 8 c 2. Schulaufgabe aus der Mathematik 18. 01. 2006
Musterl ̈osung
Gruppe A
5. a)
b) F ̈ur die Winkelsumme im gleichseitigen Dreieck gilt:
α+ α+ α= 180◦
3α= 180◦
α= 60◦
Außerdem β= 60◦analog.
F ̈ur den gestreckten Winkel gilt:
α+ δ+ β= 180◦
2 ·60◦+ δ= 180◦
δ= 60◦
c) γ= α+ δ
γ′= β+ δ
}
⇒γ= γ′
a= a
b= b
⇒∆ABD'∆EBC(SWS)
⇒AD= CE(Behauptung)
Musterl ̈osung
Gruppe A
5. a)
b) F ̈ur die Winkelsumme im gleichseitigen Dreieck gilt:
α+ α+ α= 180◦
3α= 180◦
α= 60◦
Außerdem β= 60◦analog.
F ̈ur den gestreckten Winkel gilt:
α+ δ+ β= 180◦
2 ·60◦+ δ= 180◦
δ= 60◦
c) γ= α+ δ
γ′= β+ δ
}
⇒γ= γ′
a= a
b= b
⇒∆ABD'∆EBC(SWS)
⇒AD= CE(Behauptung)
