Klasse 9b 2. Schulaufgabe aus der Mathematik 15. 12. 2004
(MNG) Gruppe B
1. Kleiner Pythagoras
Gegeben ist die rechts gezeichnete Figur.
̈Ubertrage nachfolgende Gleichungen auf dein
Blatt und erg ̈anze sie zu wahren Aussagen.
a) e2 = ...−f2
b) f·g= ...
c) (f+ g) ·e= ...·...
d) ...= f·(f+ g)
2. Parameter gesucht
F ̈ur welche Werte von that die nachfolgende Gleichung (mit L ̈osungsvariable x)
genau eine L ̈osung?
x2 −4t·x+ 8t+ 12 = 0
3. Dreieck gesucht
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete um 7 cm l ̈anger als die andere und
um 18 cm k ̈urzer als die Hypotenuse.
Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Gleichung die drei Seitenl ̈angen des Dreiecks.
4. Pentagramm und Goldener Schnitt
Gegeben ist ein regelm ̈aßiges F ̈unfeck ABCDE
mit seinen Diagonalen.
Zur Klarstellung:
x= [ZE], y= [BZ], f= [BD] .
Aus Symmetriegr ̈unden sind die Diagonalen al-
le gleich lang. Außerdem sind sie stets parallel
zur nicht anliegenden F ̈unfecksseite.
a) Begr ̈unde die Beziehung y= e.
b) Zeige, dass Zdie Strecke [BE] im
Verh ̈altnis des Goldenen Schnitts teilt.
Hilfe: geeignete Strahlensatzfigur.
Viel Erfolg !
Kink
(MNG) Gruppe B
1. Kleiner Pythagoras
Gegeben ist die rechts gezeichnete Figur.
̈Ubertrage nachfolgende Gleichungen auf dein
Blatt und erg ̈anze sie zu wahren Aussagen.
a) e2 = ...−f2
b) f·g= ...
c) (f+ g) ·e= ...·...
d) ...= f·(f+ g)
2. Parameter gesucht
F ̈ur welche Werte von that die nachfolgende Gleichung (mit L ̈osungsvariable x)
genau eine L ̈osung?
x2 −4t·x+ 8t+ 12 = 0
3. Dreieck gesucht
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete um 7 cm l ̈anger als die andere und
um 18 cm k ̈urzer als die Hypotenuse.
Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Gleichung die drei Seitenl ̈angen des Dreiecks.
4. Pentagramm und Goldener Schnitt
Gegeben ist ein regelm ̈aßiges F ̈unfeck ABCDE
mit seinen Diagonalen.
Zur Klarstellung:
x= [ZE], y= [BZ], f= [BD] .
Aus Symmetriegr ̈unden sind die Diagonalen al-
le gleich lang. Außerdem sind sie stets parallel
zur nicht anliegenden F ̈unfecksseite.
a) Begr ̈unde die Beziehung y= e.
b) Zeige, dass Zdie Strecke [BE] im
Verh ̈altnis des Goldenen Schnitts teilt.
Hilfe: geeignete Strahlensatzfigur.
Viel Erfolg !
Kink
michih
10.5.2006, 22:04:11michih
10.5.2006, 22:06:40michih
10.5.2006, 22:06:53Klasse 9b 2. Schulaufgabe aus der Mathematik 15. 12. 2004
(MNG) Musterl ̈osung
Gruppe A
1. a) g2 = b2 −h2 b) f·h= g2
c) (f+ h) ·g= a·bd) b2 = h·(h+ f)
2. x2 −4tx+ 12t−8 = 0
D= (−4t)2 −4 ·(12t−8) = 16t2 −48t+ 32
Fordere 16t2 −48t+ 32 = 0
t2 −3t+ 2 = 0
(t−1) (t−2) = 0
t1 = 1 , t2 = 2
3. k ̈urzere Kathete x−17
l ̈angere Kathete x
Hypotenuse x+ 8
Hypotenusensatz des Pythagoras:
(x−17)2 + x2 = (x+ 8)2
x2 −34x+ 289 + x2 = x2 + 16x+ 64
x2 −50x+ 225 = 0
x1,2 = 1
2
(
50 ±√502 −4 ·225
)
= 1
2
(
50 ±√1600
)
= 1
2 (50 ±40)
x1 = 45 , x2 = 5
Die Dreiecksseitenl ̈angen betragen 28 cm, 45 cm und 53 cm.
4.
a) Parallelit ̈at der Diagonalen mit den nichtanlie-
genden Seiten
⇒AZDEist Parallelogramm.
⇒y= d
Gleiche L ̈ange aller Seiten: ⇒b= d= y
b) In der X-Figur ADCBmit Zentrum Zgilt:
x
y= b
f
Mit f= x+ yund b= yfolgt:
x
y= y
x+ y
Daraus folgt, dass Zdie Strecke [AC] im Verh ̈altnis des Goldenen Schnitts teilt.
(MNG) Musterl ̈osung
Gruppe A
1. a) g2 = b2 −h2 b) f·h= g2
c) (f+ h) ·g= a·bd) b2 = h·(h+ f)
2. x2 −4tx+ 12t−8 = 0
D= (−4t)2 −4 ·(12t−8) = 16t2 −48t+ 32
Fordere 16t2 −48t+ 32 = 0
t2 −3t+ 2 = 0
(t−1) (t−2) = 0
t1 = 1 , t2 = 2
3. k ̈urzere Kathete x−17
l ̈angere Kathete x
Hypotenuse x+ 8
Hypotenusensatz des Pythagoras:
(x−17)2 + x2 = (x+ 8)2
x2 −34x+ 289 + x2 = x2 + 16x+ 64
x2 −50x+ 225 = 0
x1,2 = 1
2
(
50 ±√502 −4 ·225
)
= 1
2
(
50 ±√1600
)
= 1
2 (50 ±40)
x1 = 45 , x2 = 5
Die Dreiecksseitenl ̈angen betragen 28 cm, 45 cm und 53 cm.
4.
a) Parallelit ̈at der Diagonalen mit den nichtanlie-
genden Seiten
⇒AZDEist Parallelogramm.
⇒y= d
Gleiche L ̈ange aller Seiten: ⇒b= d= y
b) In der X-Figur ADCBmit Zentrum Zgilt:
x
y= b
f
Mit f= x+ yund b= yfolgt:
x
y= y
x+ y
Daraus folgt, dass Zdie Strecke [AC] im Verh ̈altnis des Goldenen Schnitts teilt.
