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Rationale Zahlen Erklärungen und Theorie
Addition Zwei positive Zahlen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert. Das Ergebnis (die Summe) ist stets positiv.
Beispiel: 5+8=|5|+|8|=13
Zwei negative Zahlen werden addiert, indem man ihre Beträge
addiert. Die Summe ist aber stets negativ.
Beispiel: (-5)+(-8)=-(|-5|+|-8|)= -13
Eine positive und eine negative Zahl werden addiert, indem
man den kleineren der beiden Beträge vom größeren
subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen des
Summanden mit dem größeren Betrag.
Beispiel 1: 5+(-8)=-(8-5)= -3
Beispiel 2: (-5)+8=8-5= 3
Subtraktion Die Subtraktion zweier rationaler Zahlen lässt sich stets auf eine Addition zurückführen, indem, statt den Subtrahend vom
Minuend zu subtrahieren, zum Minuend die Gegenzahl des
Subtrahend addiert wird.
Anschließend können dann die Regeln der Addition
angewendet werden.
Beispiele:
5-8=5+(-8)=-(8-5)=-3
(-8)-5=(-8)+(-5)=-(8+5)= -13
(-8)-(-5)=(-8)+5=-(8-5)= -3
Rationale Zahlen Erklärungen und Theorie
Addition Zwei positive Zahlen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert. Das Ergebnis (die Summe) ist stets positiv.
Beispiel: 5+8=|5|+|8|=13
Zwei negative Zahlen werden addiert, indem man ihre Beträge
addiert. Die Summe ist aber stets negativ.
Beispiel: (-5)+(-8)=-(|-5|+|-8|)= -13
Eine positive und eine negative Zahl werden addiert, indem
man den kleineren der beiden Beträge vom größeren
subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen des
Summanden mit dem größeren Betrag.
Beispiel 1: 5+(-8)=-(8-5)= -3
Beispiel 2: (-5)+8=8-5= 3
Subtraktion Die Subtraktion zweier rationaler Zahlen lässt sich stets auf eine Addition zurückführen, indem, statt den Subtrahend vom
Minuend zu subtrahieren, zum Minuend die Gegenzahl des
Subtrahend addiert wird.
Anschließend können dann die Regeln der Addition
angewendet werden.
Beispiele:
5-8=5+(-8)=-(8-5)=-3
(-8)-5=(-8)+(-5)=-(8+5)= -13
(-8)-(-5)=(-8)+5=-(8-5)= -3
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Rationale Zahlen Erklärungen und Theorie
Multiplikation
Für die Multiplikation rationaler Zahlen gelten
folgende Regeln:
Zunächst werden stets die Beträge der Zahlen
miteinander multipliziert.
Anschließend erhält das Ergebnis (das Produkt)
ein positives Vorzeichen, wenn beide Faktoren
positiv oder negativ sind.
Ist dagegen ein Faktor positiv und der andere
negativ, ist das Ergebnis stets negativ.
Beispiele:
(-5)·(-8)= 40
(-5)·8= -40
5·(-8)= -40
Division
Für die Division rationaler Zahlen gelten die gleichen Regeln
wie für die Multiplikation:
Zunächst werden stets die Beträge der Zahlen dividiert.
Anschließend erhält das Ergebnis (der Quotient) ein positives
Vorzeichen, wenn beide Zahlen (Dividend und Divisor) positiv
oder negativ sind.
Ist dagegen eine Zahl (Dividend oder Divisor) positiv und die
andere negativ, ist das Ergebnis stets negativ.
Beispiele:
(-40):(-8)= 5
(-40):8= -5
40:(-8)= -5
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Multiplikation
Für die Multiplikation rationaler Zahlen gelten
folgende Regeln:
Zunächst werden stets die Beträge der Zahlen
miteinander multipliziert.
Anschließend erhält das Ergebnis (das Produkt)
ein positives Vorzeichen, wenn beide Faktoren
positiv oder negativ sind.
Ist dagegen ein Faktor positiv und der andere
negativ, ist das Ergebnis stets negativ.
Beispiele:
(-5)·(-8)= 40
(-5)·8= -40
5·(-8)= -40
Division
Für die Division rationaler Zahlen gelten die gleichen Regeln
wie für die Multiplikation:
Zunächst werden stets die Beträge der Zahlen dividiert.
Anschließend erhält das Ergebnis (der Quotient) ein positives
Vorzeichen, wenn beide Zahlen (Dividend und Divisor) positiv
oder negativ sind.
Ist dagegen eine Zahl (Dividend oder Divisor) positiv und die
andere negativ, ist das Ergebnis stets negativ.
Beispiele:
(-40):(-8)= 5
(-40):8= -5
40:(-8)= -5
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Rationale Zahlen Erklärungen und Theorie
Guthaben hinzufügen
Schulden wegnehmen
1) Schulden hinzufügen
- 4,5 + ( - 3 ) =
Zu - 4,5 kommen dazu – 3
(Beispiel: Zu 4,50 € Schulden kommen noch 3 € Schulden dazu)
2) Guthaben wegnehmen
6 – ( +9 ) =
(Beispiel: Von 6 € nimmt man 9€ Guthaben weg)
aus + (-) wird –
aus – (+) wird –
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Guthaben hinzufügen
Schulden wegnehmen
1) Schulden hinzufügen
- 4,5 + ( - 3 ) =
Zu - 4,5 kommen dazu – 3
(Beispiel: Zu 4,50 € Schulden kommen noch 3 € Schulden dazu)
2) Guthaben wegnehmen
6 – ( +9 ) =
(Beispiel: Von 6 € nimmt man 9€ Guthaben weg)
aus + (-) wird –
aus – (+) wird –
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Rationale Zahlen Erklärungen und Theorie
3) Schulden wegnehmen
7 – ( - 4 ) =
(Beispiel: Ich nehme 4 € Schulden weg, so habe ich dann 4 € mehr)
4) Guthaben hinzufügen
18,6 + ( +5,2 ) =
(Beispiel: Zu 18,60 € kommen 5,20 € dazu)
aus + (+) wird +
aus – (-) wird +
Rationale Zahlen Erklärungen und Theorie
3) Schulden wegnehmen
7 – ( - 4 ) =
(Beispiel: Ich nehme 4 € Schulden weg, so habe ich dann 4 € mehr)
4) Guthaben hinzufügen
18,6 + ( +5,2 ) =
(Beispiel: Zu 18,60 € kommen 5,20 € dazu)
aus + (+) wird +
aus – (-) wird +
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Vorzeichenregeln ! Addieren und Subtrahieren Beispiele:
Gleiche
Vorzeichen
⇒ 1. Beträge addieren
2. Vorzeichen bleiben
+ 3 + 8 = + 11
- 3 – 8 = - 11
Ungleiche Vorzeichen ⇒ 1. Beträge subtrahieren
2. Vorzeichen der Zahl mit dem
größeren Betrag
+ 3 – 8 = - 5
- 3 + 8 = + 5
Multiplizieren Beispiele:
(+) • (+) = + 7 • 2 = 14
( - ) • ( - ) = +
⇒
Multipliziert mal Zahlen mit
gleichem Vorzeichen, so wird
das Ergebnis immer positiv (+) - 7 • (-2) = 14
(+) • ( - ) = - 7 • (-2) = - 14
( - ) • (+) = -
⇒
Multipliziert mal Zahlen mit
ungleichem Vorzeichen, so
wird das Ergebnis immer
negativ (-) - 7 • 2 = - 14
Dividieren Beispiele:
(+) : (+) = + 12 : 3 = 4
( - ) : ( - ) = +
⇒
⇒
Dividiert mal Zahlen mit
gleichem Vorzeichen, so wird
das Ergebnis immer positiv (+) - 12 : (- 3) = 4
(+) : ( - ) = - 12 : (-3) = - 4
( - ) : (+) = -
⇒
⇒
Dividiert mal Zahlen mit
ungleichem Vorzeichen, so
wird das Ergebnis immer
negativ (-)
- 12 : 3 = - 4
Vorzeichenregeln ! Addieren und Subtrahieren Beispiele:
Gleiche
Vorzeichen
⇒ 1. Beträge addieren
2. Vorzeichen bleiben
+ 3 + 8 = + 11
- 3 – 8 = - 11
Ungleiche Vorzeichen ⇒ 1. Beträge subtrahieren
2. Vorzeichen der Zahl mit dem
größeren Betrag
+ 3 – 8 = - 5
- 3 + 8 = + 5
Multiplizieren Beispiele:
(+) • (+) = + 7 • 2 = 14
( - ) • ( - ) = +
⇒
Multipliziert mal Zahlen mit
gleichem Vorzeichen, so wird
das Ergebnis immer positiv (+) - 7 • (-2) = 14
(+) • ( - ) = - 7 • (-2) = - 14
( - ) • (+) = -
⇒
Multipliziert mal Zahlen mit
ungleichem Vorzeichen, so
wird das Ergebnis immer
negativ (-) - 7 • 2 = - 14
Dividieren Beispiele:
(+) : (+) = + 12 : 3 = 4
( - ) : ( - ) = +
⇒
⇒
Dividiert mal Zahlen mit
gleichem Vorzeichen, so wird
das Ergebnis immer positiv (+) - 12 : (- 3) = 4
(+) : ( - ) = - 12 : (-3) = - 4
( - ) : (+) = -
⇒
⇒
Dividiert mal Zahlen mit
ungleichem Vorzeichen, so
wird das Ergebnis immer
negativ (-)
- 12 : 3 = - 4
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Teste dein Wissen Rationale Zahlen
Teste dein Wissen Rationale Zahlen
Welche der folgenden Aussagen ist
wahr?
0.81 ist eine rationale Zahl
2/3 ist eine rationale Zahl
√ 2 ist eine rationale Zahl
√ 7 ist eine rationale Zahl
√ 9 ist eine rationale Zahl
√ 10 ist eine rationale Zahl
π ist eine rationale Zahl
Die rationalen Zahlen sind genau jene Zahlen,
- die nicht ganz sind
- die nicht irrational sind
- die als Brüche aus zwei ganzen Zahlen
darstellbar sind
- die als Brüche aus zwei Primzahlen
darstellbar sind
- deren Dezimaldarstellung abbricht
- deren Dezimaldarstellung ab irgendeiner
Stelle periodisch ist
- die keine Wurzeln aus natürlichen Zahlen
sind Es gibt unendlich viele
Primzahlen
gerade Primzahlen
ganze Zahlen < 5
natürliche Zahlen < 5
rationale Zahlen zwischen 0 und 1
reelle Zahlen zwischen 0 und 10
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der natürlichen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der ganzen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der rationalen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der reellen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Unterstreiche die
richtigen Aussagen!
Teste dein Wissen Rationale Zahlen
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Welche der folgenden Aussagen ist
wahr?
0.81 ist eine rationale Zahl
2/3 ist eine rationale Zahl
√ 2 ist eine rationale Zahl
√ 7 ist eine rationale Zahl
√ 9 ist eine rationale Zahl
√ 10 ist eine rationale Zahl
π ist eine rationale Zahl
Die rationalen Zahlen sind genau jene Zahlen,
- die nicht ganz sind
- die nicht irrational sind
- die als Brüche aus zwei ganzen Zahlen
darstellbar sind
- die als Brüche aus zwei Primzahlen
darstellbar sind
- deren Dezimaldarstellung abbricht
- deren Dezimaldarstellung ab irgendeiner
Stelle periodisch ist
- die keine Wurzeln aus natürlichen Zahlen
sind Es gibt unendlich viele
Primzahlen
gerade Primzahlen
ganze Zahlen < 5
natürliche Zahlen < 5
rationale Zahlen zwischen 0 und 1
reelle Zahlen zwischen 0 und 10
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der natürlichen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der ganzen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der rationalen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der reellen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
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richtigen Aussagen!
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Teste dein Wissen Lösung Rationale Zahlen
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
0.81 ist eine rationale Zahl
2/3 ist eine rationale Zahl
√ 2 ist eine rationale Zahl
√ 7 ist eine rationale Zahl
√ 9 ist eine rationale Zahl
√ 10 ist eine rationale Zahl
π ist eine rationale Zahl
Die rationalen Zahlen sind genau jene Zahlen,
die nicht ganz sind
die nicht irrational sind
die als Brüche aus zwei ganzen Zahlen darstellbar
sind die als Brüche aus zwei Primzahlen darstellbar sind
deren Dezimaldarstellung abbricht
deren Dezimaldarstellung ab irgendeiner Stelle
periodisch ist
die keine Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind
Es gibt unendlich viele
Primzahlen
gerade Primzahlen
ganze Zahlen < 5
natürliche Zahlen < 5
rationale Zahlen zwischen 0 und 1
reelle Zahlen zwischen 0 und 10
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der natürlichen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der ganzen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der rationalen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der reellen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
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Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
0.81 ist eine rationale Zahl
2/3 ist eine rationale Zahl
√ 2 ist eine rationale Zahl
√ 7 ist eine rationale Zahl
√ 9 ist eine rationale Zahl
√ 10 ist eine rationale Zahl
π ist eine rationale Zahl
Die rationalen Zahlen sind genau jene Zahlen,
die nicht ganz sind
die nicht irrational sind
die als Brüche aus zwei ganzen Zahlen darstellbar
sind die als Brüche aus zwei Primzahlen darstellbar sind
deren Dezimaldarstellung abbricht
deren Dezimaldarstellung ab irgendeiner Stelle
periodisch ist
die keine Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind
Es gibt unendlich viele
Primzahlen
gerade Primzahlen
ganze Zahlen < 5
natürliche Zahlen < 5
rationale Zahlen zwischen 0 und 1
reelle Zahlen zwischen 0 und 10
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der natürlichen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der ganzen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der rationalen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
dividieren (außer durch 0)
die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Folgende Rechenoperation kann immer innerhalb der
Menge der reellen Zahlen ausgeführt werden:
Multiplizieren
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die Quadratwurzel ziehen
invertieren (außer 0)
den Betrag bilden
Addition
Subtraktion
Eine Rationale Zahl wird subtrahiert indem man ihre
Gegenzahl addiert!
Haben die Summanden dasselbe Vorzeichen?
•Gib dem Ergebnis das Vorzeichen des
Summanden der weiter von Null entfernt liegt.
(den größeren Betrag hat)!
•Subtrahiere die Summanden voneinander ohne
auf die Vorzeichen zu achten!
z.B.:
()()
(
)
( ) ( ) ( )
5 8 8 5 3
13 8 13 8 5
− + = − =
+ + = −
+ +
− −
=
+
−
•Gib dem Ergebnis dasselbe
Vorzeichen, das die
Summanden haben!
•Addiere die Summanden
ohne auf die Vorzeichen zu
achten!
z.B.:
()()
(
)
( ) ( ) ( )
5 8 5 8 13
5 8 5 8 13
−
− − −
+
+ = + =
+ = + =
+
+ +
z.B.:
()()
( ) ( )
( )
5 8
5 8 5
3
8
++
−
− −
= −
= + −
=+
()()
( ) ( )
( )
5 8
5 8 5
3
8
+−
+
− +
= +
= − −
=−
()()
( ) ( )
( )
8
2 8
2 2 8
10
−
− +
= −
= − +
=−
+−
()()
( ) ( )
( )
8
2 8
2 2 8
10
+
− −
= +
= + +
=+
++
Multiplikation
Division
Æ Bestimme zunächst das Vorzeichen:
()()()
( ) ( ) ( )
+ + = +
− − = +
()()()
( ) ( ) ( )
+ − = −
− + = −
Æ Multipliziere dann die Faktoren!
()()
(
)
( ) ( ) ( )
8 5 8 5 40
8 5 8 5 40
+ + = =
− − = =
+ +
+ +
()()
(
)
( ) ( ) ( )
8 5 8 5 40
8 5 8 5 40
+ − = − = −
− + = − = −
Æ Bestimme zunächst das Vorzeichen:
()()()
( ) ( ) ( )
: :
+
+ = +
−
− = +
()()()
( ) ( ) ( )
: :
+
− = −
−
+ = −
Æ Dividiere dann die Zahlen!
(
)()
(
)
( ) ( ) ( )
40 : 8 40 : 8 5
40 : 8 40 : 8 5
+
+ = =
−
+
− =
+
=
+
+
(
)()
(
)
( ) ( ) ( )
40 : 8 40 : 8 5
40 : 8 40 : 8 5
+
− = =
−
−
+ =
−
=
−
−
Subtraktion
Eine Rationale Zahl wird subtrahiert indem man ihre
Gegenzahl addiert!
Haben die Summanden dasselbe Vorzeichen?
•Gib dem Ergebnis das Vorzeichen des
Summanden der weiter von Null entfernt liegt.
(den größeren Betrag hat)!
•Subtrahiere die Summanden voneinander ohne
auf die Vorzeichen zu achten!
z.B.:
()()
(
)
( ) ( ) ( )
5 8 8 5 3
13 8 13 8 5
− + = − =
+ + = −
+ +
− −
=
+
−
•Gib dem Ergebnis dasselbe
Vorzeichen, das die
Summanden haben!
•Addiere die Summanden
ohne auf die Vorzeichen zu
achten!
z.B.:
()()
(
)
( ) ( ) ( )
5 8 5 8 13
5 8 5 8 13
−
− − −
+
+ = + =
+ = + =
+
+ +
z.B.:
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( ) ( )
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5 8
5 8 5
3
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−
− −
= −
= + −
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( ) ( )
( )
5 8
5 8 5
3
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+−
+
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( ) ( )
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8
2 8
2 2 8
10
−
− +
= −
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=−
+−
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( ) ( )
( )
8
2 8
2 2 8
10
+
− −
= +
= + +
=+
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Multiplikation
Division
Æ Bestimme zunächst das Vorzeichen:
()()()
( ) ( ) ( )
+ + = +
− − = +
()()()
( ) ( ) ( )
+ − = −
− + = −
Æ Multipliziere dann die Faktoren!
()()
(
)
( ) ( ) ( )
8 5 8 5 40
8 5 8 5 40
+ + = =
− − = =
+ +
+ +
()()
(
)
( ) ( ) ( )
8 5 8 5 40
8 5 8 5 40
+ − = − = −
− + = − = −
Æ Bestimme zunächst das Vorzeichen:
()()()
( ) ( ) ( )
: :
+
+ = +
−
− = +
()()()
( ) ( ) ( )
: :
+
− = −
−
+ = −
Æ Dividiere dann die Zahlen!
(
)()
(
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( ) ( ) ( )
40 : 8 40 : 8 5
40 : 8 40 : 8 5
+
+ = =
−
+
− =
+
=
+
+
(
)()
(
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( ) ( ) ( )
40 : 8 40 : 8 5
40 : 8 40 : 8 5
+
− = =
−
−
+ =
−
=
−
−
