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Schulaufgabe aus der Mathematik
Exponentialfunktionen, Logarithmus, trigonometrische Funktionen
1.0 Eine Stadt A hat 700 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
6% zu. ( f1: y = 700 000 ∙ 1,06x )
Die Stadt B hat 500 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
8% zu. ( f2: y = 500 000 ∙ 1,08x ).
Das Wachstum soll die nächsten Jahrzehnte gleich bleiben.
1.1 Nach wie vielen Jahren haben die Städte gleich viele Einwohner?
Löse rechnerisch!
1.2 Wie hoch wäre das Wachstum, wenn die Stadt A in 6 Jahren 800 000 Einwohner
hätte?
2.1 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 360°] auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet.
sin < 0,5
2.2 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 90°] auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet.
(sin φ + cos φ )2 = 1,8
3.0 Von einem Drachenviereck ist α = 110°, δ = 90° und f = 6 cm bekannt.
Berechne damit die Länge der Seiten a, b und die Länge der Diagonale e.
Schulaufgabe aus der Mathematik
Exponentialfunktionen, Logarithmus, trigonometrische Funktionen
1.0 Eine Stadt A hat 700 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
6% zu. ( f1: y = 700 000 ∙ 1,06x )
Die Stadt B hat 500 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
8% zu. ( f2: y = 500 000 ∙ 1,08x ).
Das Wachstum soll die nächsten Jahrzehnte gleich bleiben.
1.1 Nach wie vielen Jahren haben die Städte gleich viele Einwohner?
Löse rechnerisch!
1.2 Wie hoch wäre das Wachstum, wenn die Stadt A in 6 Jahren 800 000 Einwohner
hätte?
2.1 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 360°] auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet.
sin < 0,5
2.2 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 90°] auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet.
(sin φ + cos φ )2 = 1,8
3.0 Von einem Drachenviereck ist α = 110°, δ = 90° und f = 6 cm bekannt.
Berechne damit die Länge der Seiten a, b und die Länge der Diagonale e.
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4.0 Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse AB = 8 cm.
Der Punkt M ist der Fußpunkt der Höhe des Dreiecks durch C.
4.1 Zeichne dieses Dreieck ABC für β = 40°
__ ___
4.2 Berechne die Streckenlängen BC und CM in Abhängigkeit von β.
4.3 Nun rotiert das Dreieck um die Achse AB.
Zeige, dass der entstehende Körper folgendes Volumen in Abhängigkeit von β hat: 128 2128 sin3V =
4.4 Begründe rechnerisch, für welchen Winkel β das Volumen maximal wird, und gib das
maximale Volumen an.
4.5 Berechne den Winkel β, für den das Volumen des Körpers 32 л beträgt.
4.0 Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse AB = 8 cm.
Der Punkt M ist der Fußpunkt der Höhe des Dreiecks durch C.
4.1 Zeichne dieses Dreieck ABC für β = 40°
__ ___
4.2 Berechne die Streckenlängen BC und CM in Abhängigkeit von β.
4.3 Nun rotiert das Dreieck um die Achse AB.
Zeige, dass der entstehende Körper folgendes Volumen in Abhängigkeit von β hat: 128 2128 sin3V =
4.4 Begründe rechnerisch, für welchen Winkel β das Volumen maximal wird, und gib das
maximale Volumen an.
4.5 Berechne den Winkel β, für den das Volumen des Körpers 32 л beträgt.
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Lösungen zur 2. Schulaufgabe aus der Mathematik
1.0 Eine Stadt A hat 700 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
6% zu. ( f1: y = 700 000 ∙ 1,06x )
Die Stadt B hat 500 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
8% zu. ( f2: y = 500 000 ∙ 1,08x ).
1.1 Das Wachstum soll die nächsten Jahrzehnte gleich bleiben.
Nach wie vielen Jahren haben die Städte gleich viele Einwohner?
Löse rechnerisch!
Wenn beide Städte die gleiche Einwohnerzahl haben sollen, muss man die beiden Funktionen
f1 und f2 gleichsetzen.
700 000 ∙ 1,06x = 500 000 ∙ 1,08x
700000 1, 08
500000 1, 06
x
x=
Potenzen mit gleichem Exponenten kann man zusammenfassen:
1, 081, 4 1, 06
x
= ;
Durch Umwandlung in einen Logarithmus kann man die Gleichung lösen!
1,08
1,06
log 1.4 x= ; lg1,4
lg1,02 =18
x = 18
Nach 18 Jahren haben die beiden Städte die gleiche Einwohnerzahl.
1.2 Wie hoch wäre das Wachstum, wenn die Stadt A in 6 Jahren 800 000 Einwohner hätte?
6800000 700000 (1 )100
x= +
6
800000 1700000 100
x = +
61,14 (1 )100
x= + │1
6(..) (6. Wurzel ziehen!)
1
61,14 1 100
x= +
1
6(1,14 1) 100x= −
2, 21%x=
Es wäre ein Wachstum von 2,21%
Lösungen zur 2. Schulaufgabe aus der Mathematik
1.0 Eine Stadt A hat 700 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
6% zu. ( f1: y = 700 000 ∙ 1,06x )
Die Stadt B hat 500 000 Einwohner. Die Einwohnerzahl nimmt jährlich um
8% zu. ( f2: y = 500 000 ∙ 1,08x ).
1.1 Das Wachstum soll die nächsten Jahrzehnte gleich bleiben.
Nach wie vielen Jahren haben die Städte gleich viele Einwohner?
Löse rechnerisch!
Wenn beide Städte die gleiche Einwohnerzahl haben sollen, muss man die beiden Funktionen
f1 und f2 gleichsetzen.
700 000 ∙ 1,06x = 500 000 ∙ 1,08x
700000 1, 08
500000 1, 06
x
x=
Potenzen mit gleichem Exponenten kann man zusammenfassen:
1, 081, 4 1, 06
x
= ;
Durch Umwandlung in einen Logarithmus kann man die Gleichung lösen!
1,08
1,06
log 1.4 x= ; lg1,4
lg1,02 =18
x = 18
Nach 18 Jahren haben die beiden Städte die gleiche Einwohnerzahl.
1.2 Wie hoch wäre das Wachstum, wenn die Stadt A in 6 Jahren 800 000 Einwohner hätte?
6800000 700000 (1 )100
x= +
6
800000 1700000 100
x = +
61,14 (1 )100
x= + │1
6(..) (6. Wurzel ziehen!)
1
61,14 1 100
x= +
1
6(1,14 1) 100x= −
2, 21%x=
Es wäre ein Wachstum von 2,21%
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2.1 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 360°] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
sin < 0,5
Die Sinus-Werte sind im I. und II Quadranten positiv und im III. und IV. Quadranten negativ
deshalb gilt sin < 0,5 für alle Winkel, die kleiner als 30° und größer als 150° sind
IL = { 30° > φ > 150°}
2.2 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 90°] auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet. (sin φ + cos φ )2 = 1,8
Unter Anwendung der Additionstheoreme
2 2 sin cos 1 + = und 2sin𝜑∙cos𝜑 =sin2𝜑 gilt:
(sin𝜑+ cos𝜑 )2 =1,8
𝑠𝑖𝑛2𝜑+2sin𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑+ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 =1,8
2sin𝜑cos𝜑+ 𝑠𝑖𝑛2𝜑+ 𝑐𝑜𝑠2𝜑=1,8
2sin𝜑cos𝜑+ 1=1,8
2sin𝜑cos𝜑 =1,8−1
sin2 𝜑 =0,8
2 𝜑= 𝑠𝑖𝑛−10,8
𝜑 =26,57𝑜
3.0 Von einem Drachenviereck ist α = 110°, δ = 90° und f = 6 cm bekannt.
Berechne damit die Länge der Seiten a, b und die Länge der Diagonale e
Es gilt: α = 110°, δ = 90° und f = 6 cm
AC = Symmetrieachse, deshalb gilt: β = δ = 90°
Winkelsumme im 4-Eck = 360° daher gilt: γ = 360° - (110° + 90° +90°) = 70°
2.1 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 360°] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
sin < 0,5
Die Sinus-Werte sind im I. und II Quadranten positiv und im III. und IV. Quadranten negativ
deshalb gilt sin < 0,5 für alle Winkel, die kleiner als 30° und größer als 150° sind
IL = { 30° > φ > 150°}
2.2 Bestimme das Winkelmaß von φ ε [ 0 ; 90°] auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet. (sin φ + cos φ )2 = 1,8
Unter Anwendung der Additionstheoreme
2 2 sin cos 1 + = und 2sin𝜑∙cos𝜑 =sin2𝜑 gilt:
(sin𝜑+ cos𝜑 )2 =1,8
𝑠𝑖𝑛2𝜑+2sin𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑+ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 =1,8
2sin𝜑cos𝜑+ 𝑠𝑖𝑛2𝜑+ 𝑐𝑜𝑠2𝜑=1,8
2sin𝜑cos𝜑+ 1=1,8
2sin𝜑cos𝜑 =1,8−1
sin2 𝜑 =0,8
2 𝜑= 𝑠𝑖𝑛−10,8
𝜑 =26,57𝑜
3.0 Von einem Drachenviereck ist α = 110°, δ = 90° und f = 6 cm bekannt.
Berechne damit die Länge der Seiten a, b und die Länge der Diagonale e
Es gilt: α = 110°, δ = 90° und f = 6 cm
AC = Symmetrieachse, deshalb gilt: β = δ = 90°
Winkelsumme im 4-Eck = 360° daher gilt: γ = 360° - (110° + 90° +90°) = 70°
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Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. Damit kann man die trigonometrischen
Formel anwenden.
Es gilt: sin Gegenkathete
Hypothenuse = cos Ankathete
Hypothenuse =
sin 2
b
f
=
sin 2
sin 55 6
4, 91
bf
bcm
bcm
=
=
=
cos 2
a
f
=
cos 2
cos 55 6
3, 44
af
acm
acm
=
=
=
Es sei M der Schnittpunkt der Diagonalen des Drachenvierecks.
Dann gilt für das Dreieck ABM (rechter Winkel bei M):
sin Gegenkathete
Hypothenuse =
2sin 2
sin2 2
2 sin 55 3, 44
5, 64
e
a
ea
ecm
ecm
=
=
=
=
Somit ergeben sich folgende Werte: a = 3,44 cm
b = 4,91 cm
e = 5,64 cm
Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. Damit kann man die trigonometrischen
Formel anwenden.
Es gilt: sin Gegenkathete
Hypothenuse = cos Ankathete
Hypothenuse =
sin 2
b
f
=
sin 2
sin 55 6
4, 91
bf
bcm
bcm
=
=
=
cos 2
a
f
=
cos 2
cos 55 6
3, 44
af
acm
acm
=
=
=
Es sei M der Schnittpunkt der Diagonalen des Drachenvierecks.
Dann gilt für das Dreieck ABM (rechter Winkel bei M):
sin Gegenkathete
Hypothenuse =
2sin 2
sin2 2
2 sin 55 3, 44
5, 64
e
a
ea
ecm
ecm
=
=
=
=
Somit ergeben sich folgende Werte: a = 3,44 cm
b = 4,91 cm
e = 5,64 cm
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4.1 Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks mit β = 40°
4.2 Berechnung der Streckenlängen BC und CM in Abhängigkeit von β
BC: cos BC
AB =
cosBCAC=
cos 8BCcm=
CM: sin CM
BC =
sinCMBC=
sin cos 8CMcm =
4(2 sin cos )CM =
Wegen sin 2 2 sin cos = gilt:
sin 2 4CM=
4.3 Volumen der Rotationsfigur
Der durch Rotation entstehende Körper ist ein Doppelkegel
VKegel = 1
3 r2 π h
VDoppelkegel = V1 + V2 = 1
3 r2 π h1 + 1
3 r2 π h2 = 1
3 r2 π ( h1 + h2 )
Es gilt: h1 + h2 = AB = 8 cm und r = CM = sin 2 4
VDoppelkegel = 1
3 r2 π ∙ 8
= 28 (4 sin 2 )3
= 28 16 sin 23 = 2128 sin 23
4.1 Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks mit β = 40°
4.2 Berechnung der Streckenlängen BC und CM in Abhängigkeit von β
BC: cos BC
AB =
cosBCAC=
cos 8BCcm=
CM: sin CM
BC =
sinCMBC=
sin cos 8CMcm =
4(2 sin cos )CM =
Wegen sin 2 2 sin cos = gilt:
sin 2 4CM=
4.3 Volumen der Rotationsfigur
Der durch Rotation entstehende Körper ist ein Doppelkegel
VKegel = 1
3 r2 π h
VDoppelkegel = V1 + V2 = 1
3 r2 π h1 + 1
3 r2 π h2 = 1
3 r2 π ( h1 + h2 )
Es gilt: h1 + h2 = AB = 8 cm und r = CM = sin 2 4
VDoppelkegel = 1
3 r2 π ∙ 8
= 28 (4 sin 2 )3
= 28 16 sin 23 = 2128 sin 23
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4.5 Begründe rechnerisch, für welchen Winkel β das Volumen maximal wird, und gib das
maximale Volumen an.
VDoppelkegel = 1
3 r2 π ∙ 8
Die einzige Variable in dieser Formel ist der Radius r. Das Volumen wird also am größten
werden, wenn r seinen größten Wert annimmt.
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB gilt, dass der geometrische Ort aller
Punkte C auf dem Thales-Kreis mit dem Durchmesser = AB liegt.
Betrachtet man die Zeichnung unter 4.1, so kann man erkennen, dass die max. Länge von CM
gleich dem Radius des Thales-Kreises, also AB/2 = 4 cm ist.
Ist die Strecke CM gleich dem Radius des Thales-Kreises, so haben wir ein gleichschenkliges
Dreieck mit dem Winkel β= 45°
VDoppelkegel = 2128 sin 23
= 2128 sin 2 453
= 133,97 cm³
4.6 Berechne den Winkel β, für den das Volumen des Körpers 32 л beträgt.
32 π = 2128 sin 23
232 3 sin 2128
= │ (..)½
32 3sin 2 128
=
β=sin−1 (√0,75)∶2
β = 30o
4.5 Begründe rechnerisch, für welchen Winkel β das Volumen maximal wird, und gib das
maximale Volumen an.
VDoppelkegel = 1
3 r2 π ∙ 8
Die einzige Variable in dieser Formel ist der Radius r. Das Volumen wird also am größten
werden, wenn r seinen größten Wert annimmt.
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB gilt, dass der geometrische Ort aller
Punkte C auf dem Thales-Kreis mit dem Durchmesser = AB liegt.
Betrachtet man die Zeichnung unter 4.1, so kann man erkennen, dass die max. Länge von CM
gleich dem Radius des Thales-Kreises, also AB/2 = 4 cm ist.
Ist die Strecke CM gleich dem Radius des Thales-Kreises, so haben wir ein gleichschenkliges
Dreieck mit dem Winkel β= 45°
VDoppelkegel = 2128 sin 23
= 2128 sin 2 453
= 133,97 cm³
4.6 Berechne den Winkel β, für den das Volumen des Körpers 32 л beträgt.
32 π = 2128 sin 23
232 3 sin 2128
= │ (..)½
32 3sin 2 128
=
β=sin−1 (√0,75)∶2
β = 30o
