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  Home / Oberstufe  / Mathematik LK / Integral und Stammfunktion 

 
 
Skript Integralrechnung
Inhalt: Zusammenfassung der Integralrechnung.
Lehrplan: Integral und Stammfunktion
Kursart: 4-stündig
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Zusammenfassung Integralrechnung

Die Integralrechnung ist eine Art Flchenberechnung. Dabei handelt es sich um den Flcheninhalt unter krummlinigen Kurven von Funktionen. Solche Flchen knnen nicht einfach mit Lnge mal Breite berechnet werden.

Das Problem solcher Flchenberechnung ist schon sehr alt und wurde bereits von ARCHIMEDES (287 - 212 vor unserer Zeit) untersucht. ARCHIMEDES hat z.B. berechnet, wie gro der Flcheninhalt unter einer Parabel ist. Das ist umso erstaunlicher, als es zu seiner Zeit berhaupt keine praktische Verwendung fr diese Rechnungen gab.

Eine grundlegende Idee fr diese Flchenberechnung ist folgende: Man versucht, eine "Kurvenflche" mit solchen Flchen auszufllen, die man leicht berechnen kann. Das sind vor allem Rechteck- und Dreieickflchen. Dann summiert man diese Teilflchen und erhlt die Gesamtflche.

ARCHIMEDES hat die Parabelflche ausgefllt mit gleichschenkligen Dreiecken. Die noch frei gebliebene Flche wird immer kleiner und wird mit einem immer kleineren Dreieck ausgefllt.

Theoretisch kann man mit allerkleinsten Dreiecken die Parabelflche ganz ausfllen. Allerdings nur, wenn man das unendlich fortsetzt, denn es zeigt sich, dass immer noch Platz frei bleibt, so klein das Dreieck auch wird. Man bekommt mit dieser Methode doch schon recht genaue Ergebnisse.

Weil die Flche sozusagen ausgeschpft wird, nennt man diese Methode auch "Ausschpfungs-Methode" (mit Fremdwort: Exhaustions-Methode).

Man sieht, dass statt der Dreiecke auch Rechtecke oder Trapeze oder Kombinationen solcher Figuren genommen werden knnen. Die Flchen lassen sich leicht berechnen und mssen nur summiert werden. Das Ergebnis ist aber immer nur hinreichend genau.

Die Ausschpfungs-Methode ist keine eigentliche Integralrechnung, denn die Integralrechnung beruht auf einer vllig anderen Methode.

Heute wird die Integralrechnung im wesentlichen so benutzt, wie sie von G.W.LEIBNIZ (1646 - 1716) und I.NEWTON (1643 - 1727) entwickelt wurde.

Man kann feststellen, dass die Integralrechnung rein rechnerisch die Umkehr-Rechnung der Differentialrechnung ist, weshalb beide auch zur Infinitesimal-Rechnung zusammengefasst werden.

Whrend bei der Differenzierung einer Funktion die 1.Ableitung ermittelt wird, kann man sich die Integration so vorstellen:
Eine Funktion zu integrieren (d.h. die Flche unter der Funktionskurve zu berechnen) heit, sich diese Funktion als 1.Ableitung zu denken. Nun sucht man eine dazu gehrige Funktion, die - wenn man sie ableitet - ebenjene 1.Ableitung (also die Ausgangsfunktion) ergeben wrde. Diese andere Funktion heit Stammfunktion.

Beispiel:


Die Stammfunktion lautet:

Wrde man davon die 1.Ableitung bilden, dann erhlt man genau die erste Funktion.
Das ist das Prinzip der Integration von Funktionen.

Diese Methode ist im Unterschied zur Ausschpfungs-Methode in ihrem Vorgehen algebraisch und nicht geometrisch. Whrend die Ausschpfung mit geometrischen Figuren arbeitet, verwendet die Integralrechnung algebraische Ausdrcke, also letztendlich Gleichungen.

Fr die Integration gibt es eine spezielle Schreibweise:


Allgemein:


bedeutet: Integral der Funktion f(x), also geometrisch die Flche unter dieser Funktionskurve. Viele Stammfunktionen lassen sich leicht finden, aber noch mehr lassen sich nur schwer und manche gar nicht finden. So ist z.B.

Zudem gibt es keinen eigentlichen Rechenweg (Algorithmus), um zur Stammfunktion zu kommen, sondern nur Regeln. Deshalb sind in Tabellen hufige und bekannte Stammfunktionen oder Grundintegrale aufgefhrt. Auerdem gibt es im Internet Integral-Online Rechner.

Nun folgen einige Beispiele von Flchen unter Funktionskurven zu sehen, deren Flcheninhalt berechnet werden knnte. Diese Aufgabenstellungen werden dir in der Integralrechnung also begegnen:

1. Der Flcheninhalt wird vom Graph der quadratischen Funktion und der x-Achse eingeschlossen:


 

2. Der Flcheninhalt wird vom Graph der kubischen Funktion und der x-Achse eingeschlossen:


 

3. Der Flcheninhalt wird von den Graphen zweier quadratischer Funktionen eingeschlossen:


 

4. Flcheninhalt zwischen den Graphen zweier quadratischer Funktionen und ber deren Schnittpunkte hinaus:


 

5. Der Flcheninhalt wird zwischen dem Graphen einer Funktion und einer Geraden eingeschlossen:


 

6. Der Flcheninhalt liegt zwischen den Graphen zweier Funktionen, die sich nicht schneiden:

Das bestimmte Integral

Der Flcheninhalt wird innerhalb eines Intervalls bestimmt. Dieses Intervall hat immer eine untere und eine obere Grenze. Die Grenzen entsprechen bestimmten x-Werten, also Stellen auf der x-Achse. Innerhalb dieser Intervallgrenzen verluft die Funktionskurve und damit die Flche. Weil die Grenzen genau bestimmt sind, spricht man auch von einem bestimmten Integral.

Die Intervallgrenzen eines bestimmten Integrals werden in der Schreibweise verdeutlicht:

Unter dem Integralzeichen steht immer die untere Grenze, darber die obere Grenze. Die eckigen Klammern bedeuten: Intervall in den Grenzen von a bis b. Das groe F bedeutet: Stammfunktion von f(x).

Das Berechnen des Flcheninhalts ist nicht schwer, wenn man die Stammfunktion hat.
Man setzt in die Stammfunktion die Intervallgrenzen als x-Werte ein. Weil stets zwei solche x-Werte gegeben sind, erhlt man zweimal die Stammfunktion jeweils mit der unteren und mit der oberen Intervallgrenze.

Nun subtrahiert man die Stammfunktion mit der unteren Grenze von der mit der oberen Grenze und erhlt eine Zahl, die dem Flcheninhalt entspricht.


Man nennt diese Flcheninhalt-Zahl auch Mazahl.
Sie hat keine Einheit, weil auch die Begrenzungslinien der Flche keine Einheiten haben.

Beispiel fr eine Aufgabe mit bestimmtem Integral:


 

Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben und die eingeschlossene Flche
 
kann ber oder unter der x-Achse liegen.

Bei der Integralrechnung gibt es keine "negativen" Flchen, es wird immer der absolute Betrag des Ergebnisses genommen.

Es kann nicht ber Nullstellen hinweg integriert werden. Wenn die Funktion Nullstellen hat, werden die einzelnen Teilflchen jede fr sich integriert. Die Teilflchen werden zur Gesamt-Integral-Flche summiert.



Innerhalb des Intervalls werden die Teilflchen integriert und zur Gesamtflche summiert.

 

hnlich wie bei Nullstellen, muss man auch die Flche integrieren, die von zwei Graphen eingeschlossen wird, die sich schneiden. Auch hier darf nicht ber die Schnittpunkte hinweg integriert werden.



 

Bei Funktionen, deren Graphen sich nicht schneiden, wird die Flche zwischen den Graphen so berechnet:

Vor dem Integrieren wird die "untere" Funktion von der "oberen" Funktion subtrahiert.
Das Ergebnis (Differenz) wird als eine Funktion innerhalb des Intervalls integriert.


 

Bei Funktionen, deren Graphen sich schneiden, wird die Flche zwischen den Graphen so berechnet:



Fr jede Teilflche wird die "untere" von der "oberen" Funktion subtrahiert und die Differenz-Funktion integriert. Alle Teil-Integrale werden summiert. Alle Flchen haben absolute Betrge als Mazahlen. Es darf nicht ber die Schnittpunkte hinweg integriert werden.

 

 

Der Graph der Funktion und eine Gerade schneiden sich in einem Punkt und schlieen mit der x-Achse eine Flche ein. Es mssen die Nullstellen beider Funktionen und ihr Schnittpunkt ermittelt werden. Das Gesamtintervall besteht aus zwei Teilintervallen, die sich im Schnittpunkt "berhren"

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